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{$LastChangedDate: 2009-05-14 18:04:17 +0000 (Thu, 14 May 2009) $}
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\chapter{Definición, existencia y propiedades de la integral sobre conjuntos arbitrarios} \label{ch:05}

\section{Definición}

Supongamos que $f$ es como en la siguiente figura \ref{fig:int-sobre-omega}, acotada, $f\geq 0$, y
continua sobre el conjunto $\Omega \subset \mathbb{R}^{2}$ acotado.

\begin{figure} \centering 
%original-width 209pt;original-height 182pt;
\includegraphics[width=181pt,height=158pt]{./img-old/05/HYQOE400}
\caption{La integral de $f$ sobre $\Omega $}
\label{fig:int-sobre-omega}
\end{figure}


Queremos definir la integral de $f$ sobre $\Omega $, usando el hecho de que
ya sabemos lo que es la integral de una función sobre un rectángulo.

\bigskip 

Como $\Omega $ es acotado, podemos encerrarlo en un rectángulo $R$, y
definir una nueva función de la siguiente manera:
\[
f_{\Omega }(x)=\left\{ 
\begin{array}{ll}
f(x) & \text{si }x\in \Omega  \\ 
0 & \text{si }x\in \mathbb{R}^{2}-\Omega 
\end{array}\right. 
\]


Geométricamente, la integral representa el volumen bajo la gráfica,
y es claro que el volumen bajo la gráfica de $f$ y sobre $\Omega $, es
el mismo que el volumen bajo la gráfica de $f_{\Omega }$ sobre $R$.

%\begin{figure}[H] \centering 
%%original-width 531pt;original-height 398pt;
%\includegraphics[width=198pt,height=149pt]{./img-old/05/HYQOE401}
%\caption{figura 71}
%\end{figure}


En efecto, como $f_{\Omega }$ se anula en $\mathbb{R}^{2}-\Omega $, también se anula en $R-\Omega $, así que es razonable pensar que la
integral de $f$ sobre $\Omega $ sea la integral de $f_{\Omega }$ sobre el
rectángulo $R\,$, que ya definimos.


\begin{definition} \label{def:int-omega}
  La integral de  $f$  sobre  $\Omega \subseteq \mathbb{R}^{n}$  se denota por  $ \int_{\Omega } f$, y se define como la integral de  $f_{\Omega }$  
sobre el rectángulo  $R$, si es que ésta existe. Es decir,
por definición 
\[
 \int_{\Omega } f= \int_{R} f_{\Omega }
\]


\noindent  donde  $R$  es cualquier rectángulo tal que  $\Omega \subset R$ . 
\end{definition}


\textbf{Observación 1}: La integral de $f_{\Omega }$ no puede depender
del rectángulo $R\,$, pues si así fuera, no sería correcta la
definición. El rectángulo $R$, puede ser cualquiera que contenga a $\Omega $, como lo demuestra el siguiente lema.


\begin{lemma} \label{le:2rectagulos}
 Sean  $N$  y  $M$  dos rectángulos tales que,  $\Omega \subset N$  y  $\Omega \subset M$ . Supongamos que  $ \int_{N} f_{\Omega }$  existe;
entonces,  $f_{\Omega }$  es integrable sobre  $M$, y 
\[
  \int_{N} f_{\Omega }= \int_{M} f_{\Omega } .
\]
\end{lemma}


Dem. Sea $\varepsilon >0$, entonces existe $P$ partición de $N$ tal que
\[
\overline{S}(f_{\Omega },P)-\underline{S}(f_{\Omega },P)<\varepsilon 
\]

Supongamos que $P$ induce subrectángulos $S$. Sea $Q$ refinamiento de $P$
tal que, en la intersección de $M$ con $N$, la partición $Q$ induce
los subrectángulos $W=S\cap (M\cap N)$.

En particular tenemos que si $\left[ S\cap (M\cap N)\right] \cap \Omega
=W\cap \Omega \neq \varnothing $, entonces $W\subset M\cap N$.

Sea $U=\cup _{W\cap \Omega \neq \varnothing } W$. Considérese $N-U$, aquí tenemos que $f_{\Omega }$ vale cero, por lo que $M_{W}=m_{W}=0$ en $N-U$.

\begin{figure}[H] \centering 
%original-width 352pt;original-height 242pt;
\includegraphics[width=197pt,height=136pt]{./img-old/05/HYQOE402}
\caption{figura 72}
\end{figure}


De esta forma, considerando $f_{\Omega }$ sobre $N$, se tiene que
\[
\varepsilon >\overline{S}(f_{\Omega },Q)-\underline{S}(f_{\Omega },Q)=\sum _{W\cap \Omega \neq \varnothing } \left( M_{W}-m_{w}\right)
V(W)+\sum _{W\cap (N-U)\neq \varnothing } \left( M_{W}-m_{w}\right)
V(W)
\]
\[
\varepsilon >\overline{S}(f_{\Omega },Q)-\underline{S}(f,Q)=\underset{W\cap
\Omega \neq \varnothing }{\sum }\left( M_{W}-m_{w}\right) V(W)
\]


Sea $T$ partición de $M$, tal que en la intersección de $M$ con $N$
induce los mismos subrectángulos $R=W=S\cap (M\cap N)$. Entonces,
considerando $f_{\Omega }$ sobre $M$, tenemos que $M_{R}=m_{R}=0$ en $M-U$;
y, por lo tanto:
\[
\overline{S}(f_{\Omega },T)-\underline{S}(f_{\Omega },T)=\underset{R\cap
\Omega \neq \varnothing }{\sum }\left( M_{R}-m_{R}\right) V(R)+\sum _{R\cap (M-U)\neq \varnothing } \left( M_{R}-m_{R}\right) V(R)
\]
\[
=\sum _{W\cap \Omega \neq \varnothing } \left( M_{W}-m_{W}\right)
V(W)=\overline{S}(f_{\Omega },Q)-\underline{S}(f,Q)<\varepsilon 
\]


\noindent por lo que $f_{\Omega }$ es integrable en $M$.

\bigskip 

Nótese que para todo $W$ tal que $W\cap \Omega \neq \varnothing $,
tenemos que $W=R$, por lo tanto
\[
\overline{S}(f_{\Omega },Q)=\sum _{W\cap \Omega \neq \varnothing } M_{W}V(W)=\sum _{R\cap \Omega \neq \varnothing } M_{R}V(R)=\overline{S}(f_{\Omega },T)
\]

\noindent por lo tanto
\[
 \int_{N} f_{\Omega }=\uint _{N} f_{\Omega }=\uint _{M} f_{\Omega }= \int_{M} f_{\Omega }.\Diamond 
\]


\textbf{Observación 2}. Por definición $ \int_{\Omega } f$
existe, si y sólo sí, $ \int_{R} f_{\Omega }$ existe,
donde $R$ es cualquier rectángulo que contiene a $\Omega $.

\bigskip 

\textbf{Observación 3}. Si $R=\left[ a,b\right] \times \left[ c,d\right] 
$, $\Omega \subset R$ y $f$ es integrable en $\Omega $; entonces,
\[
 \int_{\Omega } f(x,y)d(x,y)= \int_{R} f_{\Omega
}(x,y)d(x,y)
\]


\noindent y, por el teorema de Fubini, esta integral es:
\[
 \int_{\Omega } f(x,y)d(x,y)=\int_{c}^{d} \int_{a}^{b} f_{\Omega }(x,y)dxdy
\]

La definición \ref{def:int-omega} y el lema \ref{le:2rectagulos} se generalizan de inmediato a
funciones de $\mathbb{R}^{n}$ en $\mathbb{R}$, con $\Omega \subset \mathbb{R}^{n}$ acotado, y $f:\Omega \rightarrow \mathbb{R}$.


\begin{definition}
 Sea  $f:\Omega \subset \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}$ . La integral de  $f$  sobre  $\Omega $  se denota por  $ \int_{\Omega } f$, y se
define como la integral de  $f_{\Omega }$  sobre el rectángulo  $R$, si es que ésta existe. Es decir, por definición 
\[
 \int_{\Omega } f(\overline{x})d\overline{x}= \int_{R} f_{\Omega }(\overline{x})d\overline{x}
\]
\noindent  donde  $R$  es cualquier rectángulo tal que  $\Omega \subset R\subset \mathbb{R}^{n}$  y  $\overline{x}=(x_{1}, \ldots ,x_{n})$.
\end{definition}


Si la integral de $f$ sobre $\Omega $ existe, por el teorema de Fubini
tenemos que para $\Omega \subset R=\prod _{i=1}^{n} 
\left[ a_{i},b_{i}\right] $, la integral de $f$ sobre $\Omega $, esta
dada por:
\[
 \int _{a_{n}}^{b_{n}}  \cdots \int _{a_{2}}^{b_{2}} \left( \int _{a_{1}}^{b_{1}} f_{\Omega }(\overline{x})dx_{1}\right) dx_{2} \ldots dx_{n} .
\]


\textbf{Ejemplos}

\bigskip

1. Sea $f:\Omega \subset \mathbb{R}^{2}\rightarrow \mathbb{R}$, definida por 
$f(x)=1$ para toda $x\in \Omega $, donde $\Omega $ es el circulo \textit{abierto} unitario, $\Omega =\left\{ x\in \mathbb{R}^{2}\mid \left\Vert
x\right\Vert <1\right\} $. Entonces, $f_{\Omega }(x)=0$ en $\mathbb{R}^{2}-\Omega $, y $f_{\Omega }$ es discontinua en $x$, si y sólo si, $x\in \partial \Omega $, en donde $f_{\Omega }$ también vale cero. Sea $R=[-1,1]\times \lbrack -1,1]$.
Vea la figura \ref{fig:disco}.

\begin{figure} \centering 
%original-width 315pt;original-height 303pt;
\includegraphics[width=174pt,height=167pt]{./img-old/05/HYQOE403}
\caption{$\Omega =\left\{ x\in \mathbb{R}^{2}\mid \left\Vert
x\right\Vert <1\right\} $}
\label{fig:disco}
\end{figure}

Obviamente los puntos de discontinuidad de $f_{\Omega }$ en $R$, son los
puntos de la frontera de $\Omega $; y, como $\partial \Omega $ es un
conjunto de contenido cero en $\mathbb{R}^{2}$, entonces, $f_{\Omega }$ es
integrable en $R$ y, por tanto $f$ es integrable sobre $\Omega $. Además, geométricamente se observa que $ \int_{\Omega } f$ es el
volumen del cilindro con base el circulo unitario y altura uno, esto es, $ \int_{\Omega } f=\pi $.

\bigskip 

En efecto, aplicando el teorema de Fubini, para $x\in \left[ -1,1\right] $, $y$ varía de $-\sqrt{1-x^{2}}$ a $\sqrt{1-x^{2}}$, (que es donde $f_{\Omega }$ es diferente de cero). Calcularemos una cuarta parte y, al
final multiplicamos por cuatro; es decir tomamos $x\in \left[ 0,1\right] $
con $0\leq y\leq \sqrt{1-x^{2}}$:
\[
\frac{\int_{\Omega } f(\overline{x})d(\overline{x})}{4}=\int_{0}^{1} \int _{0}^{\sqrt{1-x^{2}}} dydx=\int_{0}^{1} \sqrt{1-x^{2}}dx
\]

\noindent Haciendo $x=\sin \theta $, entonces $dx=\cos \theta d\theta $,
tenemos que:
\[
=\int _{0}^{\frac{\pi }{2}} \sqrt{1-\sin ^{2}\theta }\cos
\theta d\theta =\int _{0}^{\frac{\pi }{2}} \cos ^{2}\theta
d\theta =\int _{0}^{\frac{\pi }{2}} \frac{1+\cos (2\theta )}{2}d\theta =\frac{\pi }{4}
\]
\[
 \int_{\Omega } f(\overline{x})d(\overline{x})=\pi .
\]


2. Sea $f:\Omega \subset \mathbb{R}^{2}\rightarrow \mathbb{R}$, definida por 
$f(x)=1$ para toda $x\in \Omega $, donde
\[
 \Omega =\left\{ x\in \mathbb{R}^{2}\mid \left\Vert x\right\Vert \leq
1\right\}  ,
\]


\noindent Que es el círculo unitario, pero \textit{cerrado}. El
conjunto de discontinuidades de $f_{\Omega }$ también es la frontera de $\Omega $ y, con un razonamiento análogo al del ejemplo anterior, la
integral $ \int_{\Omega } f$ existe, vale 1 y puede calcularse también aplicando el teorema de Fubini.

\bigskip

3. Sea $f:\Omega \subset \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ definida por $f(x)=0$ para toda $x\in \Omega =\mathbb{Q}\cap \lbrack 0,1]$. Sea $R=[0,1]\supset \Omega $. Ahora, $f_{\Omega }$ es la función constante
cero, $f_{\Omega }(x)=0$ para toda $x\in \mathbb{R}$, por tanto,
\[
  \int_{\Omega } f= \int_{R} f_{\Omega }=0 .
\]


4. Sea $f:\Omega \subset \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$, con $\Omega =\mathbb{Q}\cap \lbrack 0,1]$, y $f(x)=1$ para toda $x\in \Omega $. En este
caso tenemos
\[
f_{\Omega }(x)=\left\{ 
\begin{array}{ll}
1 & x\in \mathbb{Q}\cap \lbrack 0,1] \\ 
0 & x\notin \mathbb{Q}\cap \lbrack 0,1]\end{array}\right. 
\]


\noindent En $R=[0,1]$ es la función de Dirichlet, que no es integrable;
esto es, $ \int_{R} f_{\Omega }$ no existe y, por tanto, tampoco
existe la integral $ \int_{\Omega } f$.

\bigskip 

En efecto, la integral de $f$ sobre $\Omega $, geométricamente vendría a ser el área bajo la gráfica de $f$ sobre $\mathbb{Q\cap }\left[
0,1\right] $, que sería el área del conjunto $\left( \mathbb{Q\cap }\left[ 0,1\right] \right) \times \left[ 0,1\right] $. Pero este conjunto no
tiene área (no es Jordán-medible, como se demostró en el ejemplo
2 de la sección 1 de este capitulo). En todo caso, que la integral de $f$
sobre $\mathbb{Q\cap }\left[ 0,1\right] $ no exista, intuitivamente se debe
a que $\left( \mathbb{Q\cap }\left[ 0,1\right] \right) \times \left[ 0,1\right] $ no es J-m (el \fcolorbox{gray}{yellow}{teorema B} de la siguiente sección lo demuestra
formalmente).

\bigskip

\textbf{Observación}. En los cuatro ejemplos anteriores, tenemos que $f$
es continua en $\Omega $ (lo que queda como ejercicio demostrar); sin
embargo, en el ejemplo 4, $f$ no es integrable en $\Omega $. O sea, que si $f $ es continua en $\Omega $, y $\Omega $ no es un rectángulo, entonces
no podemos garantizar que $f$ sea integrable. ¿ Por qué
ocurre esto?

\bigskip 

Hay que notar que el conjunto de discontinuidades de $f_{\Omega }$ es el que
determina la integrabilidad, o no, de $f$. También hay que notar que $f$
puede no estar definida en $\partial \Omega $, y $f_{\Omega }$ ser
discontinua en $\partial \Omega $, como ocurre en el ejemplo 1. Más aún, $f$ puede ser continua en $\partial \Omega $, y, sin embargo, $f_{\Omega }$ puede ser discontinua ahí, como ocurre en el ejemplo 2.
Por tanto, \textbf{si }$\partial \Omega $\textbf{ no es de medida cero,
aunque }$f$\textbf{ sea continua en }$\Omega $\textbf{, tendríamos que
el conjunto de discontinuidades de }$f_{\Omega }$\textbf{ no es de medida
cero}, en consecuencia $f_{\Omega }$ no sería integrable y, entonces $f$
tampoco.

Esto es lo que nos muestra el ejemplo 4, donde el dominio de la función
son los racionales en el intervalo $\left[ 0,1\right] $; es decir, $\Omega
=Q\cap \lbrack 0,1]$; y, la función $f$ es continua en su dominio. Pero $\partial \Omega =\left[ 0,1\right] $, que no es de medida cero, y resulta
que $f_{\Omega }$ es discontinua en todo el intervalo, por tanto $f_{\Omega
} $ no es integrable en $\left[ 0,1\right] $ y, por tanto, $f$ tampoco es
integrable en $\Omega $.

\bigskip 

\textbf{Conclusión}: Determinar si una función acotada $f$ es
integrable o no, en un conjunto acotado $\Omega $ (que no es un rectángulo), se relaciona no sólo con la continuidad (o discontinuidades) de
la función, sino además se relaciona también con cómo es la
frontera de $\Omega $. Esto se aclarará en la siguiente sección.


\section{Existencia de la integral $\int_{\Omega } f$.}


Por definición tenemos que, $ \int_{\Omega } f$ existe, si y
solo sí, $ \int_{R} f_{\Omega }$ existe, donde $R$ es
cualquier rectángulo que contiene a $\Omega $. Y $ \int_{R} f_{\Omega }$ existe si y sólo si, el siguiente conjunto tiene media cero:
\[
\Lambda (f_{\Omega },R)=\left\{ x\in R\mid f_{\Omega }\text{ es discontinua
en }x\right\} 
\]


Veamos cómo es el conjunto $\Lambda (f_{\Omega },R)$. Primero veamos qué pasa en el interior y en el exterior de $\Omega $, ambos conjuntos
abiertos. Observemos que, por definición de $f_{\Omega }$, tenemos que $f$ y $f_{\Omega }$ son iguales en el interior de $\Omega $; esto es,
\[
 f(x)=f_{\Omega }(x)\text{, }\forall \text{ }x\in int\Omega .
\]

\noindent De forma que, si $x_{0}\in int\Omega $, entonces hay una bola
abierta $B$ de radio $r$ mayor que cero, tal que $B_{r}(x_{0})\subset \Omega 
$, y $f(x)=f_{\Omega }(x)$ para toda $x\in B_{r}(x_{0})$.

En consecuencia, para toda $x\in int\Omega $, $f_{\Omega }$ es continua en $x $, si y sólo si, $f$ es continua en $x$; es decir, en $int\Omega $ el
conjunto de discontinuidades de $f$, es exactamente el mismo que el conjunto
de discontinuidades de $f_{\Omega }$.

\bigskip

En segundo lugar, obsérvese que
\[
f_{\Omega }(x)=0\text{ }\forall \text{ }x\in ext\Omega 
\]


\noindent Es decir, en $ext\Omega $, $f_{\Omega }$ es la función
constante cero, que es continua. O sea que, el conjunto de discontinuidades
de $f_{\Omega }$ en $ext\Omega $, es el vacío: $\Lambda (f_{\Omega
},ext\Omega )=\varnothing $.

En consecuencia, las discontinuidades de $f_{\Omega }$, son las mismas que
las de $f$ en el $int\Omega $; esto es,
\[
\Lambda (f_{\Omega },int\Omega )=\Lambda (f,int\Omega )
\]

El problema puede aparecer en la frontera de $\Omega $. Como decíamos
al final de la sección anterior, el conjunto de discontinuidades de $f_{\Omega }$ es el que determina la integrabilidad, o no, de $f$; y, el
conjunto de discontinuidades de $f_{\Omega }$ en el interior de $\Omega $,
es el mismo que el de $f$ y, en el exterior, $f_{\Omega }$ no tiene
discontinuidades. Por tanto, como se observa en los \resaltar{4 ejemplos} de la sección anterior, la frontera de $\Omega $ es el único conjunto donde
pueden ocurrir otras discontinuidades de $f_{\Omega }$, independientemente
de cómo sea $f$ en $\partial \Omega $ (continua o discontinua o no estar
definida ahí --como ocurre en el ejemplo 4 donde $\Omega =\mathbb{Q}\cap \left[ 0,1\right] $).

\begin{figure}[H] \centering 
%original-width 207pt;original-height 168pt;
\includegraphics[width=251pt,height=204pt]{./img-old/05/HYQOE404}
\caption{figura 76 a) $f_{\Omega }$
continua; b) $f_{\Omega }$ discontinua en el $int\Omega $ y en la $\partial
\Omega $}
\end{figure}

En conclusión, $f_{\Omega }$ es discontinua sólo en los puntos del $int\Omega $ donde $f$ sea discontinua y, quizá también en la
frontera de $\Omega $ (depende de cómo sea $f$); y, por tanto, siempre
es valida la siguiente contención, para cualquier rectángulo $R$ que
contenga a $\Omega $:

\begin{equation} \label{eq:cont-omega-discont}
\Lambda (f_{\Omega },R)\subseteq \Lambda (f,int\Omega )\cup \partial \Omega 
\end{equation}

\bigskip

Ahora bien, para que $f$ sea integrable en $\Omega $, es condición
necesaria que $\Lambda (f,int\Omega )$ sea de medida cero, pues de no serlo,
como
\[
\Lambda (f,int\Omega )=\Lambda (f_{\Omega },int\Omega )\subset \Lambda
(f_{\Omega },R)
\]


\noindent entonces $\Lambda (f_{\Omega },int\Omega )$ no sería de
medida cero.\medskip 

Si además de la condición de que $\Lambda (f,int\Omega )$ sea de
medida cero, exigimos que $\partial \Omega $ también sea de medida cero,
dada la contención \ref{eq:cont-omega-discont}, garantizamos que $f_{\Omega }$ es
integrable en $R$ y, por tanto, $f$ es integrable en $\Omega $. Así
hemos demostrado el siguiente teorema:


\begin{theorem} \label{th:JM-frontera-lambda-integrable}
 Sea  $\Omega \subseteq \mathbb{R}^{n}$  y  $f:\Omega \rightarrow R$  acotada. Si los conjuntos  $\partial
\Omega $  y  $\Lambda (f,int\Omega )$  tienen medida cero,
entonces  $f$  es integrable en  $\Omega $.
\end{theorem}


\textbf{Observación 1}. Los conjuntos $\Omega $ tales que $\partial
\Omega $ tiene medida cero, nos permiten reducir el análisis de la
existencia de la integral de una función $f$ sobre $\Omega $, al examen
de los puntos de discontinuidad de $f$ en el interior de $\Omega $. Por el
corolario \ref{co:discont-medida-cero}, si $\Omega $ es acotado y $\partial \Omega $
tiene media cero, entonces (por ser compacto) $\partial \Omega $ tiene
contenido cero; es decir, $\Omega $ es Jordán-medible. De manera que
podemos reformular el teorema \ref{th:JM-frontera-lambda-integrable} de la siguiente forma:


\begin{theorem} \label{th:JM-integrable}
Sea  $\Omega \subseteq \mathbb{R}^{n}$  un conjunto Jordán-medible y  $f:\Omega \rightarrow \mathbb{R}^{n}$  acotada. Si  $\Lambda (f,int\Omega )$  tiene medida
cero, entonces  $f$  es integrable en  $\Omega $.
\end{theorem}


\textbf{Observación 2}. Pedir que $\partial \Omega $ tenga medida cero,
nos quita de problemas en caso de que $f_{\Omega }$ sea discontinua ahí. Pero, puede ocurrir que no haya problema en la frontera de $\Omega $; es
decir, puede ocurrir que tanto $f$ como $f_{\Omega }$ sean continuas ahí
(como ocurre en el \resaltar{ejemplo 3} de la sección anterior, donde $\partial
\Omega =\left[ 0,1\right] $ no es de medida cero y, sin embargo $f$ sí
es integrable). Esto muestra que el teorema \ref{th:JM-frontera-lambda-integrable} establece únicamente condiciones suficientes.

\bigskip

Vamos a ver un ejemplo particular. Vea la figura \ref{fig:fc-char}. Sea $f:\Omega \subseteq \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}$, definida por $f(x)=1$, $\forall $ $x\in \Omega $, con $\Omega $ Jordán-medible. Definimos la \emph{función característica de }$\Omega $, que denotamos por $X_{\Omega }$, como
\[
X_{\Omega }(x)=\left\{ 
\begin{array}{ll}
1 & x\in \Omega \\ 
0 & x\notin \Omega\end{array}\right.
\] 

\begin{figure} \centering 
%original-width 192pt;original-height 154pt;
\includegraphics[width=209pt,height=168pt]{./img-old/05/HYQOE505}
\caption{Función caracteríca de $\Omega$}
\label{fig:fc-char}
\end{figure}

Por definición, la siguiente integral
\[
 \int_{\Omega } f= \int_{\Omega } 1
\]
 existe si, y sólo sí, para cualquier rectángulo $R\supset \Omega $, $ \int_{R} X_{\Omega }$ existe. Y esta última integral existe, si el conjunto de discontinuidades de $X_{\Omega }$
tiene medida cero; pero en este ejemplo es obvio que $X_{\Omega }$ es
discontinua en $x$ si, y sólo si, $x\in \partial \Omega $. Pero, como $\Omega $ es J-m, $\partial \Omega $ tiene contenido cero y, por tanto la
integral $ \int_{R} X_{\Omega }$ existe. En consecuencia $ \int_{\Omega } 1$ existe y,
\[
 \int_{\Omega } f= \int_{\Omega } 1= \int_{R} X_{\Omega }
\]
En otras palabras, hemos demostrado que, si $\Omega $ es J-m, entonces la
integral $ \int_{\Omega } 1$ existe. Es claro que el recíproco
también es cierto. Esto permite caracterizar los conjuntos con área
(Jordan medibles) de nuevo, pero podemos decir más:


\begin{theorem} \label{th:JM-existe-omega}
$\Omega \subset \mathbb{R}^{n}$  es J-m si, y sólo si la integral  $ \int_{\Omega } 1$  existe; y, en
tal caso, 
\[
c(\Omega )= \int_{\Omega } 1
\]
\end{theorem}

\textbf{Observación}. Lo que establece el teorema \ref{th:JM-existe-omega}, es que
los conjuntos $\Omega $ sobre los cuales, la función característica
es integrable, son precisamente los conjuntos que tienen área, los
Jordan-medibles; y la integral de $X_{\Omega }$ es precisamente el valor del 
área de $\Omega $.

\bigskip

Dem. del teorema \ref{th:JM-existe-omega}. Ya demostramos que si $\Omega $
es J-m, entonces $ \int_{\Omega } 1$ existe. Ahora, supongamos que $ \int_{\Omega } 1$ existe, por demostrar que $\Omega $ es J-m. Como 
$ \int_{\Omega } 1$ existe, entonces $ \int_{R} X_{\Omega
}$ existe.

Sea $\varepsilon >0$, $R$ un rectángulo tal que $\Omega \subseteq R$,
entonces existe $P$ partición de $R$, y $R_{i}$ los subrectángulos
inducidos por $P$ tales que,
\[
 \overline{S}(X_{\Omega },P)-\underline{S}(X_{\Omega },P)<\varepsilon 
\]
\[
\Rightarrow \text{ }\ \ \underset{R_{i}}{\sum }M_{i}V(R_{i})-\underset{R_{i}}{\sum }m_{i}V(R_{i})<\varepsilon 
\]


\noindent donde $M_{i}$ y $m_{i}$ son, respectivamente, el supremo y el 
ínfimo de $X_{\Omega }$ en $R_{i}$. Pero estas sumas las podemos
separar de la siguiente forma:
\[
 \underset{R_{i}}{\sum }M_{i}V(R_{i})=\underset{R_{i}\cap \overline{\Omega }\neq \varnothing }{\sum }M_{i}V(R_{i})+\underset{R_{i}\cap \overline{\Omega }=\varnothing }{\sum }M_{i}V(R_{i})
\]
\[
\text{y }\ \ \ \ \ \underset{R_{i}}{\sum }m_{i}V(R_{i})=\underset{R_{i}\subseteq
int\Omega }{\sum }m_{i}V(R_{i})+\underset{R_{i}\nsubseteq int\Omega }{\sum }m_{i}V(R_{i})
\]


\noindent Como $M_{i}=1$ en los $R_{i}$ tales que $R_{i}\cap \overline{\Omega }\neq \varnothing $; y, $M_{i}=0$ en los $R_{i}$ tales que $R_{i}\cap 
\overline{\Omega }=\varnothing $\thinspace ; y como $m_{i}=1$ para los $R_{i}\subseteq int\Omega $, y $m_{i}=0$ para los $R_{i}$ que no están
totalmente contenidos en $int\Omega $, entonces

\begin{align} \label{eq:sumas}
\underset{R_{i}}{\sum }M_{i}V(R_{i}) &=&\underset{R_{i}\cap \overline{\Omega 
}\neq \varnothing }{\sum }V(R_{i})=\underset{R_{i}}{\sum }M_{i}V(R_{i})=\underset{R_{i}\cap \overline{\Omega }\neq \varnothing }{\sum }A(R_{i}) \\
\underset{R_{i}}{\sum }m_{i}V(R_{i}) &=&\underset{R_{i}\subseteq int\Omega }{\sum }V(R_{i})=\underset{R_{i}\subseteq int\Omega }{\sum }A(R_{i})  \notag
\end{align}

\begin{figure}[H] \centering 
%original-width 454pt;original-height 345pt;
\includegraphics[width=224pt,height=171pt]{./img-old/05/HYQOE506}
\caption{figura 78}
\end{figure}

Por tanto, tenemos que
\[
\underset{R_{i}}{\sum }M_{i}V(R_{i})-\underset{R_{i}}{\sum }m_{i}V(R_{i})=\underset{R_{i}\cap int\Omega \neq \varnothing }{\sum }A(R_{i})-\underset{R_{i}\subseteq \overline{\Omega }}{\sum }A(R_{i})<\varepsilon 
\]

\noindent Desigualdad que se cumple para todo refinamiento $Q$ de $P$. Además, como
\[
\overline{A}(\Omega )\leq \underset{R_{i}\cap \overline{\Omega }\neq
\varnothing }{\sum }A(R_{i})\text{ \ \ y \ }\underline{A}(\Omega )\geq \underset{R_{i}\subseteq int\Omega }{\sum }A(R_{i})
\]

\noindent entonces
\[
\overline{A}(\Omega )-\underline{A}(\Omega )\leq \underset{R_{i}\cap 
\overline{\Omega }\neq \varnothing }{\sum }A(R_{i})-\underset{R_{i}\subseteq
int\Omega }{\sum }A(R_{i})
\]


\noindent por tanto:
\[
\overline{A}(\Omega )-\underline{A}(\Omega )<\varepsilon 
\]
Desigualdad que se cumple para cualquier $\varepsilon $. Se
concluye que
\[
\overline{A}(\Omega )-\underline{A}(\Omega )=0\text{ }\mathbf{\therefore }\text{ }\overline{A}(\Omega )=\underline{A}(\Omega )
\]

\noindent Así, $\Omega $ es Jordan-medible.

\bigskip

Además, de las igualdades \ref{eq:sumas}, también se desprende que
\[
\underline{A}(\Omega )=\lint _{R} X_{\Omega }\text{ y }\uint _{R} X_{\Omega }=\overline{A}(\Omega )
\]
\[
A(\Omega )= \int_{R} X_{\Omega }= \int_{\Omega } 1.\Diamond 
\]


\section{Propiedades de $ \int_{\Omega } f$}


1. Sea $\Omega $ Jordan-medible, y $f$ y $g$ integrables sobre $\Omega $.
Entonces,

\noindent i) $f+g$ es integrable y $ \int_{\Omega } f+g= \int_{\Omega } f+ \int_{\Omega } g$

\bigskip 

\noindent ii) $cf$ es integrable para toda $c\in \mathbb{R}$, y $ \int_{\Omega } cf=c \int_{\Omega } f\medskip $

\noindent (la demostración queda como ejercicio)

\bigskip

2. Sea $f:\Omega \subseteq \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}$ integrable
en $\Omega $, con $\Omega $ J-m, y $f(x)\geq 0$ $\forall $ $x\in \Omega $,
entonces $ \int_{\Omega } f\geq 0$

\bigskip 

\noindent Dem. Sea $R$ tal que $\Omega \subseteq R$, $P$ partición de $R$, entonces,
\[
\underline{S}(f_{\Omega },P)=\underset{R_{i}}{\sum }m_{i}V(R_{i})\geq 0
\]
por tanto
\[
\lint _{R} f_{\Omega }=\sup \left\{ \underline{S}(f_{\Omega },P)\right\} \geq 0
\]
Como $f$ es integrable, entonces $f_{\Omega }$ es integrable y
\[
 \int_{\Omega } f= \int_{R} f_{\Omega }=\lint _{R} f_{\Omega }\geq 0\Diamond 
\]

3. Sea $h:\Omega \subseteq \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}$ y $g:\Omega
\subseteq \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}$ integrables, $\Omega $ Jordán-medible. Si $h(x)\leq g(x)$ $\forall $ $x\in \Omega $, entonces
\[
 \int_{\Omega } h\leq  \int_{\Omega } g
\]

Dem. Como $h$ y $g$ integrables, entonces $f(x)=g(x)-h(x)$ es integrable y,
como $h(x)\leq g(x)$, entonces $f(x)\geq 0$, de modo que
\[
 \int_{\Omega } g-h= \int_{\Omega } f\geq 0\Diamond 
\]

4. Sea $f:\Omega \subseteq \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}$ integrable, 
$\Omega $ J-m y $m\leq f(x)\leq M$, $\forall $ $x\in \Omega $, entonces
\[
 mA(\Omega )\leq  \int_{\Omega } f\leq MA(\Omega ) .
\]


Dem. Como $A(\Omega )= \int_{\Omega } 1$, entonces
\[
mA(\Omega )=m \int_{\Omega } 1= \int_{\Omega } m\leq 
\int {\Omega } f\leq  \int_{\Omega } M=M \int_{\Omega } 1=MA(\Omega )\Diamond 
\]


5. Si $f:\Omega \subseteq \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}$ es
integrable, entonces
\[
\left\vert  \int_{\Omega } f\right\vert \leq  \int_{\Omega } \left\vert f\right\vert 
\]

\noindent (la demostración queda como ejercicio)

\bigskip

6. Sean $\Omega $, $\Omega _{1}$ y $\Omega _{2}$ conjuntos J-m en $\mathbb{R}^{n}$, tales que $\Omega =\Omega _{1}\cup \Omega _{2}$ y $\Omega _{1}\cap
\Omega _{2}$ tiene contenido cero. Si $f$ es integrable sobre $\Omega $,
entonces $f$ es integrable sobre $\Omega _{1}$ y sobre $\Omega _{2}$. Además,
\[
  \int_{\Omega } f=\int_{\Omega _{1}} f+ \int_{\Omega _{2}} f .
\]


Dem. Por demostrar que $f$ es integrable sobre $\Omega _{1}$. Definimos
\[
f_{\Omega _{1}}(x)=\left\{ 
\begin{array}{ll}
f(x) & \text{si }x\in \Omega _{1} \\ 
0 & \text{si }x\notin \Omega _{1}\end{array}\right. 
\]


\noindent Como $f$ es integrable, entones $f_{\Omega }$ es integrable sobre
cualquier rectángulo $R$ que contenga a $\Omega $ y
\[
  \int_{\Omega } f= \int_{R} f_{\Omega } .
\]


\noindent Por lo que $\Lambda (f_{\Omega },R)$ tiene medida cero. Como $\Omega _{1}\subset \Omega $, entonces $\Lambda (f_{\Omega _{1}},int\Omega
_{1})\subset \Lambda (f_{\Omega },R)$, por lo que $\Lambda (f_{\Omega
_{1}},int\Omega _{1})$ también tiene medida cero. Por otro lado, en el
exterior de $\Omega _{1}$, $f_{\Omega _{1}}$ es la constante cero y, por
tanto, continua; ahí el conjunto de discontinuidades es el vacío.
Y, por último, en la frontera de $\Omega _{1}$, como $\Omega _{1}$ es
J-m, entonces $c(\partial \Omega )=0$, y no importa que ahí sea o no
discontinua la función. En resumen, tenemos que
\[
\Lambda (f_{\Omega _{1}},R)\subseteq \Lambda (f_{\Omega _{1}},int\Omega
_{1})\cup \partial \Omega 
\]


\noindent es de medida cero. Por tanto, $f_{\Omega _{1}}$ es integrable en $R
$ ; y, en consecuencia, $f$ es integrable en $\Omega _{1}$ y
\[
  \int_{R} f_{\Omega _{1}}=\int_{\Omega _{1}} f .
\]


Análogamente, $f$ es integrable en $\Omega _{2}$ y
\[
  \int_{R} f_{\Omega _{2}}=\int_{\Omega _{2}} f .
\]


Ahora, por demostrar que\ \  \ $ \int_{\Omega } f=\int_{\Omega _{1}} f+\int_{\Omega _{2}} f$.

\bigskip 

Primero, notemos que,
\[
f_{\Omega }(x)=f_{\Omega _{1}}(x)+f_{\Omega _{2}}(x)\text{, }\forall x\in \Omega
-\left( \Omega _{1}\cap \Omega _{2}\right) 
\]


\noindent (quitamos la intersección, pues si fuera distinta del vacío, no se cumpliría la igualdad).

Definamos $h=f_{\Omega }-\left( f_{\Omega _{1}}+f_{\Omega _{2}}\right) $,
entonces:

\qquad\ \ i) $h(x)=0$, $\forall $ $x\in \Omega -\left( \Omega _{1}\cap
\Omega _{2}\right) $

\qquad ii) $h$ es acotada

\qquad iii) $c(\Omega _{1}\cap \Omega _{2})=0$

\noindent De modo que podemos concluir que $h$ es integrable sobre $\Omega $, y
\[
  \int_{\Omega } h=0 .
\]


\noindent Sea $h_{\Omega }(x)=\left\{ 
\begin{array}{ll}
h(x) & \text{si }x\in \Omega  \\ 
0 & \text{si }x\notin \Omega 
\end{array}\right. $, entonces

\[
 \int_{\Omega } h= \int_{R} h_{\Omega }= \int_R
 f_{\Omega }-\left( f_{\Omega _{1}}+f_{\Omega _{2}}\right) 
\]
\[
 = \int_{R} f_{\Omega }- \int_{R} f_{\Omega _{1}}- \int_{R} f_{\Omega _{2}}= \int_{\Omega } f- \int_{\Omega _{1}} f- \int_{\Omega _{2}} f=0
\]
\[
 \int_{\Omega } f=\int_{\Omega _{1}} f+ \int_{\Omega _{2}} f \Diamond 
\]


El recíproco de esta propiedad, también es valido. Esto es, para $\Omega $, $\Omega _{1}$ y $\Omega _{2}$ conjuntos J-m en $\mathbb{R}^{n}$,
tales que $\Omega =\Omega _{1}\cup \Omega _{2}$ y $\Omega _{1}\cap \Omega
_{2}$ tienen contenido cero; si $f$ es integrable sobre $\Omega _{1}$ y
sobre $\Omega _{2}$, entonces $f$ es integrable sobre $\Omega $ y
\[
 \int_{\Omega } f= \int_{\Omega _{1}} f + \int_{\Omega _{2}} f
\]


\noindent (la demostración se deja como ejercicio)

\bigskip

De esta propiedad se desprende de inmediato la siguiente:

\bigskip

6. Sean $\Omega $ y $\Omega _{1}$ J-m en $\mathbb{R}^{n}$. Si $\Omega
_{1}\subset \Omega $ y $f:\Omega \rightarrow \mathbb{R}$ es integrable y no
negativa, entonces
\[
 \int_{\Omega _{1}} f\leq  \int_{\Omega } f .
\]


Dem. Sea $\Omega _{2}=\Omega -\Omega _{1}$, entonces $ \int_{\Omega } f= \int_{\Omega _{1}} f+ \int_{\Omega _{2}} f\geq 
\int_{\Omega _{1}} f$

\bigskip 

\bigskip 

\textbf{7.} \textbf{Teorema del valor medio para el calculo integral}.

Sean $g,f:\Omega \subseteq \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}$ acotadas y
continuas en $\Omega $ Jordán-medible. Si $\Omega $ es conexo y $g(x)\geq 0$ $\forall $ $x\in \Omega $, entonces existe $c\in \Omega $, tal
que
\[
  \int_{\Omega } fg=f(c) \int_{\Omega } g .
\]


Dem. Sea $m=\inf \left\{ f(x)\mid x\in \Omega \right\} $ y $M=\sup \left\{
f(x)\mid x\in \Omega \right\} $, entonces
\[
mg(x)\leq f(x)g(x)\leq Mg(x)\text{ }\forall \text{ }x\in \Omega 
\]

\noindent entonces
\[
 m \int_{\Omega } g\leq  \int_{\Omega } fg\leq M \int_{\Omega } g .
\]


\noindent Sea $x_{0}\in \Omega $, tal que $g(x_{0})>0$ (si $g\,(x)=0$ $\forall x\in \Omega $, el teorema es trivial). Como $g$ es continua, entonces
\[
 \int_{\Omega } g>0\Rightarrow m\leq \frac{\int_\Omega  
fg}{\int_\Omega g}\leq M
\]


\noindent Como $f$ es continua y $\Omega $ conexo, la imagen de $\Omega $
bajo $f$ es conexo; por tanto, existe $y$ en $f(\Omega )$, tal que
\[
\frac{\int_\Omega fg}{\int_\Omega g}=y=f(c),\text{ para alguna }c\in \Omega 
\]

\noindent por tanto:
\[
 \int_{\Omega } fg=f(c) \int_{\Omega } g\Diamond 
\]

Obsérvese que si $g(x)=1$ $\forall x$, entonces existe $c\in \Omega $, tal
que
\[
 \qquad \qquad  \int_{\Omega } f=f(c)A(\Omega )
\]


\section{Ejemplos}

1. Sea $f(x)=1$ $\forall x\in \Omega $, y $\Omega $ como se indica en cada
inciso. Determinaremos si existe la integral, $ \int_{\Omega } f$
y, en su caso, determinaremos su valor.

i) $\Omega =\left\{ \frac{1}{m},\frac{1}{m^{2}},\frac{1}{m^{3}}\mid m\in 
\mathbb{N}\right\} $. Entonces
\[
f_{\Omega }(x)=\left\{ 
\begin{array}{ll}
1 & \text{ si }x\in \Omega \\ 
0 & \text{si }x\in \lbrack 0,1]\times \lbrack 0,1]\times \lbrack 0,1]-\Omega\end{array}\right. 
\]
\[
 \Lambda (f_{\Omega },R)=\left\{ (1,1,1),\left( \frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{8}\right) , \ldots ,\left( \frac{1}{m},\frac{1}{m^{2}},\frac{1}{m^{3}}\right) , \ldots ,(0,0,0)\right\} 
\]


\noindent que es un conjunto numerable, por lo que $m\left( \Lambda
(f_{\Omega },R)\right) =0$, entonces $f_{\Omega }$ es integrable y, por
tanto, $f$ es integrable.
\[
 \int_{\Omega } 1=\underset{[0,1]\times \lbrack 0,1]\times \lbrack
0,1]}{\int }1
\]
\[
=\sup \left\{ \underline{S}(f_{\Omega },P)\mid P=P_{1}\times P_{2}\times
P_{3}\right\} 
\]


\noindent donde $P_{1}=\left\{ 1,\frac{1}{2}, \ldots ,\frac{1}{m},0\right\} $, $P_{2}=\left\{ 1,\frac{1}{2^{2}}, \ldots ,\frac{1}{m^{2}},0\right\} $ y $P_{3}=\left\{ 1,\frac{1}{2^{3}}, \ldots ,\frac{1}{m^{3}},0\right\} $

\bigskip 

Sea $S$ los subrectángulos inducidos por $P$, y $M_{S}$, $m_{S}$ el
supremo y el ínfimo de $f_{\Omega }$, respectivamente; entonces,
\[
\underline{S}(f_{\Omega },P)=\sum _{S} m_{S}V(S)=\underset{S}{\sum 
}0V(S)=0
\]


\noindent y
\[
\overline{S}(f_{\Omega },P)=\sum _{S} M_{S}V(S)=\sum_{i=1}^{m} 1\left[ \frac{1}{i}-\frac{1}{i+1}\right] \left[ \frac{1}{i^{2}}-\frac{1}{\left( i+1\right) ^{2}}\right] \left[ \frac{1}{i^{3}}-\frac{1}{\left( i+1\right) ^{3}}\right] 
\]

\noindent Como, cuando $i$ tiende a infinito, la longitud de los intervalos $\left[ \frac{1}{i+1},\frac{1}{i}\right] $, $\left[ \frac{1}{\left(
i+1\right) ^{2}},\frac{1}{i^{2}}\right] $ y $\left[ \frac{1}{\left(
i+1\right) ^{3}},\frac{1}{i^{3}}\right] $ tiende a cero, entonces
\[
\inf \left\{ \overline{S}(f_{\Omega },P)\mid P=P_{1}\times P_{2}\times
P_{3}\right\} =0
\]
\[
 \int_{\Omega } f=\underset{[0,1]\times \lbrack 0,1]\times \lbrack
0,1]}{\int }1=0
\]


ii) $\Omega =$conjunto de Cantor$=\mathbb{C}$. Entonces,
\[
f_{\Omega }(x)=\left\{ 
\begin{array}{ll}
1 & \text{ si }x\in \mathbb{C} \\ 
0 & \text{si }x\in \lbrack 0,1]-\mathbb{C}\end{array}\right. 
\]


Afirmamos que el conjunto de discontinuidades de $f_{\Omega }$ en $\left[ 0,1\right] $ es el conjunto de Cantor; esto es, $\Lambda (f_{\Omega },\left[ 0,1\right] =\mathbb{C}$ (la demostración de la afirmación queda como
ejercicio). Y, como se demostró en la sección 2 del capítulo 2,
ejemplo f, $c(\mathbb{C)=}0$, entonces $m(\mathbb{C)=}0$, por tanto $f_{\Omega }$ es integrable y, en consecuencia, $f$ también lo es. Además,
\[
\underline{S}(f_{\Omega },P)=\sum _{S} m_{S}V(S)=\underset{S}{\sum 
}m_{S}V(S)
\]
\[
=\sum _{S} 0V(S)=0 \quad \forall P\text{ partición de }\left[ 0,1\right]
\]
\[
 \Rightarrow \qquad  \int_{\left[ 0,1\right] } f_{\Omega }=\lint _{\left[ 0,1\right] } f_{\Omega }
\]
\[
 =\sup \left\{ \underline{S}(f_{\Omega },P)\mid P\text{ es partición de }\left[ 0,1\right] \right\} =0
\]

\noindent por lo que
\[
\int_{\mathbb{C}} f=0
\]

iii) $\Omega =\left\{ (x,y)\mid x^{2}+y^{2}=1\right\} .$ Entonces,
\[
f_{\Omega }(x,y)=\left\{ 
\begin{array}{ll}
1 & \text{si }x\in \Omega \\ 
0 & \text{si }x\in \lbrack 0,1]\times \lbrack 0,1]-\Omega\end{array}\right. 
\]


\noindent Obviamente, el conjunto de discontinuidades de $f_{\Omega }$ en $[0,1]\times \lbrack 0,1]$ es $\Omega $, que es una curva cerrada contenida
en $\mathbb{R}^{2}$ y, por tanto
\[
m(\Omega )=m\left( \Lambda (f_{\Omega },[0,1]\times \lbrack 0,1]\right) =0
\]

\noindent Entonces, $f_{\Omega }$ es integrable y, por tanto $f$ lo es. Además,
\[
 \int_{\Omega } f= \int_{[0,1]\times \lbrack 0,1]} f_{\Omega }=\lint _{[0,1]\times \lbrack 0,1]} f_{\Omega
} 
\]
\[
 =\sup \left\{ \underline{S}(f_{\Omega },P)\mid P\text{ es partición de }[0,1]\times \lbrack 0,1]\right\} =0
\]


\noindent pues $\underline{S}(f_{\Omega },P)=\sum _{S} m_{S}V(S)=\sum _{S} 0V(S)=0$.

\bigskip

iv) $\Omega =\cup_{i=1}^{\infty } (a_{i},b_{i})\subset \left[ 0,1\right] $, donde cada racional en $\left( 0,1\right) $ está en
algún $(a_{i},b_{i})$ y
\[
\sum_{i=1}^{\infty } V((a_{i},b_{i}))<1.
\]
\[
f_{\Omega }(x)=\left\{ 
\begin{array}{ll}
1 & \text{si }x\in \Omega  \\ 
0 & \text{si }x\in \left[ 0,1\right] -\Omega 
\end{array}\right. 
\]


Afirmamos que:

\noindent 1. $\Lambda (f_{\Omega },\left[ 0,1\right] )=\partial \Omega $

\noindent 2. $\partial \Omega =\left[ 0,1\right] -\Omega $

\noindent 3. $\left[ 0,1\right] -\Omega $ no tiene medida cero.

En consecuencia, el conjunto de discontinuidades de $f_{\Omega }$ no es de
medida cero y, entonces $f_{\Omega }$ no es integrable, por lo que $f$ no es
integrable.

\bigskip 

Demostración de las afirmaciones.

La demostración de la afirmación 1, se deja como ejercicio. Para
demostrar la afirmación 2, hay que demostrar las dos contenciones:

a) Por demostrar que $\partial \Omega \subset \left[ 0,1\right] -\Omega $.
Por hipótesis tenemos que $\Omega \subset \left[ 0,1\right] $ que es un
conjunto cerrado; entonces, la cerradura de $\Omega $ está contenida en $\left[ 0,1\right] $. Esto es
\[
\Omega \subset \Omega \cup \partial \Omega =\overline{\Omega }\subset \left[
0,1\right] \text{ }\mathbf{\therefore }\text{ }\partial \Omega \subset \left[ 0,1\right] 
\]


Nótese que si $x\in \partial \Omega $, entonces $x$ es irracional y $x\in \lbrack 0,1]$; por lo que, $x\notin int\Omega $ y, en consecuencia, $x\notin \Omega $, pues $\Omega $ es abierto. Por tanto, $x\in \left[ 0,1\right] -\Omega $; lo que demuestra que $\partial \Omega \subset \left[ 0,1\right] -\Omega $. Es fácil convencerse de que $\Omega $ es abierto,
pues si fuera cerrado, como contiene a cada racional en $(0,1)$, entonces su
frontera contendría a todo el intervalo $\left[ 0,1\right] $, y no se
cumpliría la hipótesis de que
\[
 \sum_{i=1}^{\infty } V((a_{i},b_{i}))<1 .
\]


b) Por demostrar $\left[ 0,1\right] -\Omega \subset \partial \Omega $. Sea $x\in \left[ 0,1\right] -\Omega $; entonces queremos demostrar que para toda $\delta >0$, ocurre que $V_{\delta }(x)\cap \Omega \neq \varnothing $ y $V_{\delta }(x)\cap \left( \mathbb{R}-\Omega \right) \neq \varnothing $.
Pero, si $x\in x\in \left[ 0,1\right] -\Omega $ tenemos, en particular, que $x\notin \Omega $, por lo que $x$ es irracional. Entonces $\forall \delta >0$
existe $r\in \mathbb{Q}\cap \left[ 0,1\right] $ tal que $r\in V_{\delta }(x)$; y, por tanto $r\in \Omega \cap V_{\delta }(x)$. Lo que demuestra que $\Omega \cap V_{\delta }(x)\neq \varnothing $. Por último, si $x\notin
\Omega $ entonces $x\in \mathbb{R}-\Omega $ y $x\in V_{\delta }(x)$; por lo
que $V_{\delta }(x)\cap \left( \mathbb{R}-\Omega \right) \neq \varnothing $.

De (a) y (b) tenemos que $\partial \Omega =\left[ 0,1\right] -\Omega
\Diamond $

\bigskip

Demostración de la afirmación 3. Por demostrar que $\left[ 0,1\right]
-\Omega $ no tiene medida cero. Supongamos que si; es decir, supongamos que $m\left( \left[ 0,1\right] -\Omega \right) =0$. Entonces, dada $\varepsilon
>0 $ existe una colección de intervalos abiertos, $\left\{
I_{1},I_{2},..\right\} $, tales que
\[
\left[ 0,1\right] -\Omega \subset \cup_{i=1}^{\infty } I_{i}\text{ y }\sum_{i=1}^{\infty } V(I_{i})<\varepsilon 
\]


\noindent Como $\partial \Omega =\left[ 0,1\right] -\Omega \Rightarrow
\partial \Omega \cup \Omega =\left[ 0,1\right] $, y
\[
\left( \left[ 0,1\right] -\Omega \right) \cup \Omega \subseteq \left( 
\cup_{i=1}^{\infty } I_{i}\right) \cup \left( \cup_{i=1}^{\infty } (a_{i},b_{i})\right) 
\]


\noindent entonces
\[
\left[ 0,1\right] \subseteq \left( \cup_{i=1}^{\infty } I_{i}\right) \cup \left( \cup_{i=1}^{\infty } (a_{i},b_{i})\right) 
\]

\noindent lo que implica que:
\[
V(\left[ 0,1\right] )\leq \sum_{i=1}^{\infty } V(I_{i})+\sum_{i=1}^{\infty } V((a_{i},b_{i}))<\varepsilon +1
\]

\noindent en consecuencia:
\[
1<\varepsilon +1\text{ }\forall \varepsilon \text{ }\mathbf{\therefore }\text{ }1<1
\]


\noindent Lo que es una contradicción. Por tanto $\left[ 0,1\right]
-\Omega $ no tiene medida cero.$\Diamond $

\bigskip

2. Sea $\Omega $ acotado de medida cero, tal que $ \int_{\Omega } 1$
existe. Demostrar que $ \int_{\Omega } 1=0$.
\[
f_{\Omega }(x)=\left\{ 
\begin{array}{ll}
1 & \text{si }x\in \Omega \\ 
0 & \text{si }x\in R-\Omega\end{array}\right. 
\]


\noindent donde $R$ es un rectángulo tal que $\Omega \subseteq R$.

Como $ \int_{\Omega } 1$ existe, entonces $ \int_{R} f_{\Omega }$ existe, por tanto
\[
 \int_{R} f_{\Omega }=\uint _{R} f_{\Omega
}=\inf \left\{ \overline{S}(f_{\Omega },P)\mid P\text{ es partición de }R\right\} 
\]


Sea $P$ partición de $R$, tal que para todo subrectángulo $S$ que
cumpla que $S\cap \Omega \neq \varnothing $, ocurra que $S\subseteq \cup _{i} I_{i}$, para alguna o algunas $i$. Como todo subrectángulo
inducido por $P$ se intersecta, o no se intersecta con $\Omega$, entonces
podemos separar las sumas superiores en estas dos partes; esto es:
\[
 \overline{S}(f_{\Omega },P)=\sum _{S\cap \Omega \neq \varnothing } M_{S}V(S)+\sum _{S\cap \Omega =\varnothing } M_{S}V(S)
\]
\[
=\sum _{S\cap \Omega \neq \varnothing } 1V(S)+\underset{S\cap
\Omega =\varnothing }{\sum }0V(S)=\sum _{S\cap \Omega \neq \varnothing } V(S)
\]
\[
=\underset{S\subseteq \cup _{i} I_{i}}{\sum }V(I_{i})\leq \sum_{i=1}^{\infty } V(I_{i})<\varepsilon \text{, }\forall \varepsilon
>0
\]

\noindent por tanto:
\[
\inf \left\{ \overline{S}(f_{\Omega },P)\mid P\text{ es partición de }R\right\} =0\Diamond 
\]


\section{Ejercicios}

Demostrar las propiedades:

\noindent a) Si $\Omega $ es un conjunto con área (Jordán-medible),
y $f$ y $g$ integrables sobre $\Omega $. Entonces,

\noindent i) $f+g$ es integrable y $ \int_{\Omega } f+g= \int_{\Omega } f+ \int_{\Omega } g$

\noindent ii) $cf$ es integrable $\forall $ $c\in \mathbb{R}$, y $ \int_{\Omega } cf=c \int_{\Omega } f$

\bigskip

\noindent b) Si $f:\Omega \subseteq \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}$ es
integrable, entonces
\[
 \qquad \left\vert  \int_{\Omega } f\right\vert \leq  \int_{\Omega } \left\vert f\right\vert 
\]

\noindent c) Sean $\Omega $, $\Omega _{1}$ y $\Omega _{2}$ conjuntos J-m en $\mathbb{R}^{n}$, tales que $\Omega =\Omega _{1}\cup \Omega _{2}$ y $\Omega
_{1}\cap \Omega _{2}$ tiene contenido cero. Si $f$ es integrable sobre estos
dos conjuntos, entonces $f$ es integrable sobre $\Omega _{1}$ y sobre $\Omega _{2}$ y

$\qquad  \int_{\Omega } f=\int_{\Omega _{1}} f+ \int_{\Omega _{2}} f$.\medskip

\noindent Formular y demostrar una propiedad equivalente, quitando la hipótesis de que $\Omega _{1}\cap \Omega _{2}$ tiene contenido cero.

\bigskip

2. En cada inciso determinar si $ \int_{\Omega } f$ existe y
calcular su valor. Justificar bien la respuesta. Dibujar la región $\Omega $.

\noindent a) $f(x)=x^{2}$, $\Omega =$conjunto de Cantor.

\noindent b) $f(x,y)=1$, $\Omega =\left\{ (x,y)\mid x^{2}+y^{2}\leq 4\text{
con }x,y\in \mathbb{Q}\right\} $

\noindent c) $f(x,y)=1$, $\Omega =\left\{ (x,y)\mid x^{2}+y^{2}=4\text{ con }x,y\in \mathbb{Q}\right\} $

\noindent d) $f(x,y)=1$, $\Omega =\left( \left( \left\{ \frac{1}{n}\mid n\in 
\mathbb{N}\right\} \cup \left\{ \frac{n-1}{n}\mid n\in \mathbb{N}\right\}
\right) \cap \left[ 0,1\right] \right) \times \left( \left[ 0,1\right] \cap 
\mathbb{I}\right) $

\noindent e) $f(x,y)=x$, $\Omega =\left( \left\{ \frac{1}{n}\mid n\in 
\mathbb{N}\right\} \cap \left[ 0,1\right] \right) \times \left[ 0,1\right] $

\noindent f) $f(x,y,z)=1$ $\Omega =\left\{ (x,y,z,)\in \mathbb{R}^{2}\mid
\left\Vert (x,y,z)\right\Vert <1\right\} $

\bigskip

3. (Principio de Cavalieri) Sean $A$ y $B$ conjuntos Jordán medibles en $\mathbb{R}^{3}$. Sea $Ac$ y $Bc$, conjuntos en $\mathbb{R}^{2}$ definidos
como:
\[
 Ac=\left\{ (x,y)\mid (x,y,c)\in A\right\} 
\]
\[
Bc=\left\{ (x,y)\mid (x,y,c)\in B\right\} \text{ }\forall c\in \mathbb{R}.
\]


Supóngase que $Ac$ y $Bc$ son Jordán medibles $\forall c\in \mathbb{R}
$, y tienen la misma área $(A(Ac)=A(Bc)$. Demostrar que $A$ y $B$ tienen
el mismo volumen. Hacer un dibujo ilustrativo. (Sugerencia: Por definición,
\[
V(A)= \int_{A} 1= \int_{R} X_{\Omega }
\]

\noindent Donde $A\subset R=[a,b]\times \lbrack c,d]\times \lbrack e,f]$ y $X_{\Omega }$ la función característica. Para cada $t$ fijo en $\left[ e,f\right] $ comprobar que $X_{A}(x,y,t)=X_{A_{t}}(x,y)$ $\forall
(x,y)\in \lbrack a,b]\times \lbrack c,d]$. Usar esto para demostrar que el
volumen de $A$ es igual a la integral del área de $A_{t}$ sobre $\left[
c,d\right] $; o sea que: $V(A)=\int_{e}^{f} A(A_{t})dt$.
Por último, usar las hipótesis del problema.)

\bigskip

4. a) Dar un ejemplo de un conjunto $\Omega \subset \mathbb{R}^{n}$ acotado
que sea de medida cero, pero que no exista la integral $ \int_{\Omega } 1$

\noindent b) Demostrar que si $\Omega $ es acotado y de medida cero, y
existe la integral $ \int_{\Omega } 1$, entonces dicha integral
vale cero. (Recuérdese que $int\Omega =\varnothing $ si $\Omega $ es de
medida cero; de aquí es fácil concluir que $\underline{S}(X_{\Omega
},P)=0$ $\forall P$ partición de $R$, rectángulo que contiene a $\Omega $, con $X_{\Omega }$ la función característica.)

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5. Decir si las siguientes afirmaciones son ciertas o falsas. Justificar
bien su respuesta:

\noindent a) Sea $\Omega $ acotado y $R$ un rectángulo que contiene a $\Omega $. Entonces:
\[
 \Lambda _{f_{\Omega }}(R)=\Lambda _{f}(int\Omega )\cup \partial \Omega  .
\]


\noindent b) $f:\Omega \rightarrow \mathbb{R}$ acotada y $c(\partial \Omega
)=0$, entonces $f$ es integrable en $\Omega $.

\noindent c) $f(\overline{x})=k$, $\forall \overline{x}\in \Omega $ acotado, 
$k$ una constante en $\mathbb{R}$. Entonces $f$ es integrable en $\Omega $.

\noindent d) Sea $\Omega $ J-m tal que $c(\Omega )>0$, entonces $\Omega $ es
abierto.

\noindent e) $f:\Omega \rightarrow \mathbb{R}$ acotada, $\Omega $ acotado y $\Lambda _{f}(int\Omega )$ de medida cero; entonces, existe la integral $ \int_{\Omega } f$.

\noindent f) $f:\Omega \rightarrow \mathbb{R}$ acotada, $\Omega $ J-m y $\Lambda _{f}(int\Omega )$ de medida cero; entonces existe la integral $ \int_{\Omega } f$.

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6. Sin calcular la integral, demostrar que $\frac{1}{6} \int_{\Omega } \frac{1}{y-x+3}\leq \frac{1}{4}\medskip $

\noindent Donde $\Omega $ es el triángulo con vértices en $(0,0)$, $(1,1)$, y $(1,0)$. (Usar el teorema del valor medio).

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7. Sea $\Omega $ J-m. Demostrar que, para toda $\varepsilon >0$, existe un
conjunto $A$ J-m y cerrado, $A\subset \Omega $ tal que $ \int_{\Omega } X_{\Omega -A}<\varepsilon $. (Sugerencia: tómese $A=\cup _{S\subset \Omega } S$ donde $S$ son los subrectángulos inducidos
por una \textit{cierta} partición $P$ de un rectángulo $R$ que
contiene a $\Omega $. Mostrar que $ \int_{\Omega } X_{\Omega }- \int_{A} X_{\Omega }= \int_{\Omega } X_{\Omega -A}$;
calcular $\overline{S}(X_{\Omega -A},P)-\underline{S}(X_{\Omega -A},P)$ y
usar la hipótesis.)

